Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且側(cè)棱AA₁⊥面ABC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：證明C₁C⊥AD，AD⊥BC，利用BC∩C₁C=C，推出AD⊥平面BCC₁B₁，然后證明AD⊥C₁D．利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明即可．

解答： 證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴C₁C⊥AD，
又點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，且△ABC為正三角形，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又DC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥C₁D．
∵側(cè)棱AA₁⊥面ABC，
∴側(cè)棱CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，
∴AD⊥C₁C，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD?面ABC，
∴平面BB₁C₁C丄平面ADC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面垂直以及平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力．