Question

如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO₁折成直二面角，如圖2．
（Ⅰ）證明：AC⊥BO₁；
（Ⅱ）求二面角O-AC-O₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：本題可用兩種方法來解答：
（解法一）（I）利用幾何體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，求•=0來證明垂直；
（II）求平面OAC和平面O₁AC的法向量，再求二面角O-AC-O₁的平面角的余弦值．
（解法二）（I）由題意知證出AO⊥平面OBCO₁，再由給出的長度求出OC⊥BO₁，由三垂線定理AC⊥BO₁；
（II）由（I）證出BO₁⊥平面AOC，利用其垂直關(guān)系作出二面角O-AC-O₁的平面角，在直角
三角形中解．
解答：解：解法一（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁．
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．
故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO₁，
所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
如圖3，則相關(guān)各點的坐標是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）
O₁（0，0，）．
∴=（-3，1，），=（0，-3，），•=-3+•=0．
∴AC⊥BO₁．

（II）解：∵•=-3+•=0，∴BO₁⊥OC，
由（I）AC⊥BO₁，∴BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量．
設(shè)=（x，y，z）是平面O₁AC的一個法向量，
由⇒，取z=，得=（1，0，）．
設(shè)二面角O-AC-O₁的大小為θ，由、的方向知，
cosθ=cos＜，＞==
即二面角O-AC-O₁的大小是arccos．

解法二（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，
∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB．則AO⊥平面OBCO₁，OC是AC在面OBCO₁內(nèi)的射影．
∵tan∠OO₁B==，tan∠O₁OC==，
∴∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，則OC⊥BO₁
由三垂線定理得AC⊥BO₁．

（II）解：由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC．
設(shè)OC∩O₁B=E，過點E作EF⊥AC于F，連接O₁F（如圖4），
則EF是O₁F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O₁F⊥AC．
∴∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角．
由題設(shè)知OA=3，OO₁=，O₁C=1，
∴O₁A==2，AC==，
∴O₁F==，又O₁E=OO₁•sin30°=，
∴sin∠O₁FE==即二面角O-AC-O₁的大小是arcsin．
點評：本題為一題多解的情況，一種是向量法，需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，向量的數(shù)量積來證垂直，求平面的法向量來求二面角的余弦值；另一種用垂直關(guān)系的定義和定理，三垂線定理來證明垂直，作出二面角O-AC-O₁的平面角．向量法簡單．