Question

（05年湖南卷）（14分）

如圖1，已知ABCD是上．下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO₁折成直二面角，如圖2.

　�。á瘢┳C明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

 

 

Answer 1

解析：（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO₁

              所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

       如圖3，

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），

       B（0，3，0），C（0，1，）

       O₁（0，0，）.

       從而

       所以AC⊥BO₁.

（II）解：因?yàn)?IMG src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20091127/20091127084854005.gif' width=188 height=27>所以BO₁⊥OC，

由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.

設(shè)是0平面O₁AC的一個(gè)法向量，

由    得.

設(shè)二面角O―AC―O₁的大小為，由、的方向可知，>，

      

 所以cos，>=

       即二面角O―AC―O₁的大小是