Question

下列命題中：
（1）若x₁滿足2x+2^x=5，x₂滿足2x+2log₂（x-1）=5，則x₁+x₂=4；
（2）函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值是

3+2 2

2

；
（3）設(shè)g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域?yàn)閇-1，3]，則f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-1，7]；
（4）已知曲線y=

2x-x2

（0≤x≤2）與直線y=k（x-2）+2僅有2個(gè)交點(diǎn)，則k∈（

3

4

，1）；
（5）函數(shù)y=log₂

2x

4-x

圖象的對(duì)稱中心為（2，1）．
其中真命題序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）先由題中已知分別將x₁、x₂所滿足的關(guān)系表達(dá)為，2x₁=2log₂（5-2x₁）…系數(shù)配為2是為了與下式中的2x₂對(duì)應(yīng)2x₂+2log₂（x₂-1）=5，觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)要將真數(shù)部分消掉求出x₁+x₂，只須將5-2x₁化為2（t-1）的形式，則2x₁=7-2t，t=x₂；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)求得點(diǎn)A（-2，-1），由點(diǎn)A在mx+ny+2=0上，可得2m+n=2．再由

1

m

+

1

n

=

1

2

（2m+n）（

1

m

+

1

n

）=

3

2

+

n

2m

+

m

n

，利用基本不等式求得它的最小值；
（3）把f（x）看成兩個(gè)函數(shù)y=2x及y=g（x）的“和”，因?yàn)楹瘮?shù)y=2x遞增，y=g（x）以1為周期，因此，結(jié)合周期分別再求出y=f（x）在區(qū)間[1，2]和[2，3]的值域即可得到函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域；
（4）已知曲線y=

2x-x2

（0≤x≤2）與直線y=k（x-2）+2僅有2個(gè)交點(diǎn)，則k∈（

3

4

，1]，；
（5）函數(shù)y=log₂

2x

4-x

圖象上取點(diǎn)（a，b），則b=log₂

2a

4-a

，關(guān)于（2，1）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-a，2-b），所以log₂

2(4-a)

a

=2-b，可得結(jié)論．

解答： 解：由題意2x1+2x1=5①，2x₂+2log₂（x₂-1）=5，②所以2x1=5-2x₁，所以x₁=log₂（5-2x₁），即2x₁=2log₂（5-2x₁），令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1），所以5-2t=2log₂（t-1）與②式比較得t=x₂，于是2x₁=7-2x₂，即x₁+x₂=3.5，故（1）不正確；
（2）函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（-2，-1），點(diǎn)A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，所以-2m-n+2=0，即2m+n=2，所以

1

m

+

1

n

=

1

2

（2m+n）（

1

m

+

1

n

）=

3

2

+

n

2m

+

m

n

≥

3+2 2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

n

2m

=

m

n

時(shí)取等號(hào)，故

1

m

+

1

n

的最小值為

3+2 2

2

，故（2）正確；
（3）設(shè)x∈[1，2]，則x-1∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2=f（x-1）+2 ①，
因?yàn)閤∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[-1，3]，所以對(duì)于①式，f（x-1））∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]．同理，當(dāng)x∈[2，3]，則x-2∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4 ②，
因?yàn)閤∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[-1，3]，所以對(duì)于②式，f（x-2）∈[-1，3]，所以f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]，綜上，y=f（x）在[0，3]上的值域?yàn)閇-1，7]，故（3）正確；
（4）已知曲線y=

2x-x2

（0≤x≤2）與直線y=k（x-2）+2僅有2個(gè)交點(diǎn)，則k∈（

3

4

，1]，故不正確；
（5）函數(shù)y=log₂

2x

4-x

圖象上取點(diǎn)（a，b），則b=log₂

2a

4-a

，關(guān)于（2，1）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-a，2-b），所以log₂

2(4-a)

a

=2-b，所以圖象的對(duì)稱中心為（2，1）．故正確．
故答案為：（2）（3）（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，涉及知識(shí)點(diǎn)多，難度大．