Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝－ax，其中a＞0，求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

思路一　　應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義求解，其間對＋進行分子有理化． 　　解法一　　設(shè)0≤x1＜x2 　　則f(x1)－f(x2)＝－－a(x1－x2) 　�。�(x1－x2)(－a) 　�、佼�(dāng)a≥1時∵＜1 　　∴－a＜0 　　又x1－x2＜0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) 　　∴當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)． 　�、诋�(dāng)0＜a＜1時，∵f(0)＝1，f(1)＝－a， 　　顯然f(0)與f(1)的大小關(guān)系不定． 　　∴當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)． 　　綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)． 　　思路二　　對函數(shù)f(x)恒等變形，再分類探求． 　　解法二　　f(x)＝－ax＝－x＋x－ax＝＋(1－a)x 　　∵在[0，＋∞)上，是單調(diào)遞減． 　�、佼�(dāng)a≥1時，(1－a)x單調(diào)遞減或為常函數(shù)． 　　∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減． 　�、诋�(dāng)0＜a＜1時，f(0)＝1，f(1)＝－a，f(0)與f(1)的大小關(guān)系不確定 　　∴f(x)在[0，＋∞)上不單調(diào)． 　　綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減． 　　思路三　　仍然利用函數(shù)單調(diào)性定義，轉(zhuǎn)化目標，簡捷求解． 　　解法三　　設(shè)0≤x1＜x2則f(x1)－f(x2) 　�。�(x1－x2)(－a) 　　∵x1，x2∈[0，＋∞)∴0＜＜1 　　若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào) 則f(x1)－f(x2) 　　在[0，＋∞)上恒正或恒負． 　　又x1－x2＜0，且a＞0 　　∵只有a≥1時才符合題意， 　　∴當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，f(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)． 　　思路四　　利用導(dǎo)數(shù)知識判定函數(shù)的單調(diào)性． 　　解法四　　(x)＝－a＝－a 　　當(dāng)x＞0時，＝＜1 　　當(dāng)x＝0時，＝0 　　∵a＞0∴當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，(x)＝－a在[0，＋∞)恒小于0，此時f(x)是單調(diào)減函數(shù)． 　　評析　　函數(shù)單調(diào)性的研究擺脫了常規(guī)的“證明單調(diào)性”、“求單調(diào)區(qū)間”，改為研究數(shù)a的變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，立意新穎，寓意深刻． 　　根式的設(shè)計頗具匠心，使不等式的放縮成為可能，提供了簡化解題的依據(jù)．