已知實(shí)數(shù)a滿足1<a≤2,設(shè)函數(shù)f (x)=x3x2+a x.

(Ⅰ) 當(dāng)a=2時(shí),求f (x)的極小值;

(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x  (b∈R) 的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同,

求證:g(x)的極大值小于或等于10.

 

【答案】

(Ⅰ) 極小值為f (2)= (Ⅱ)證明如下

【解析】

試題分析:(Ⅰ)解:當(dāng)a=2時(shí),f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).

列表如下:

x

(-,1)

1

(1,2)

2

(2,+)

f ′(x)

0

0

f (x)

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以,f (x)的極小值為f (2)=.              

(Ⅱ) 解:f ′ (x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).

由于a>1,所以f (x)的極小值點(diǎn)x=a,則g(x)的極小值點(diǎn)也為x=a.

而g′ (x)=12x2+6bx-6(b+2)=6(x-1)(2x+b+2),所以,

即b=-2(a+1).

又因?yàn)?<a≤2,所以  g(x)極大值=g(1)=4+3b-6(b+2)=-3b-8=6a-2≤10.

故g(x)的極大值小于或等于10.        

考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。

 

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已知實(shí)數(shù)a滿足1<a≤2,設(shè)函數(shù)f (x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+ax.
(Ⅰ) 當(dāng)a=2時(shí),求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同,求證:g(x)的極大值小于等于10.

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命題Q:|x|<1是x<a的充分不必要條件.則

[  ]

A.P且Q”為真命題;

B.“P且Q”為假命題;

C.“P或Q”為真命題;

D.P或Q”為真命題

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