橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點M與兩焦點F1，F(xiàn)2所成的角∠F1MF2=a，求證△F1MF2的面積為b2tan
a
2
．
分析：先設(shè)|MF1|=m，|MF2|=n，則根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知m+n=2a，兩邊平方可得mn的表達式，再根據(jù)余弦定理求得cosα，把mn代入，即可求得mn=
b2
cos2
α
2
，最后根據(jù)三角形面積公式求得△F1MF2的面積，化簡后原式得證．
解答：解：設(shè)|MF1|=m，|MF2|=n，則m+n=2a，
∴m2+n2+2mn=4a2，
在△△F1MF2中根據(jù)余弦定理可知cosα=
m2+n2-4c2 
2mn
=
4(a2-c2)-2mn
2mn
=
2b2-mn
mn

∴mn=
2b2
cosα+1
=
2b2
2cos2 
α
2
=
b2
cos2
α
2

∴△F1MF2的面積為
1
2
mnsinα=
b22sin
α
2
cos
α
2
2cos2
α
2
=b2tan
a
2
點評：本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)及余弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標(biāo)原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標(biāo)為（a，0），求點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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