Question

如圖所示，正四棱錐P=ABCD中，AB=1，側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為

2

2

．
（1）求二面角P-CD-A的大�。�
（2）設(shè)點F在AD上，AF=

1

3

AD，求點A到平面PBF的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD，∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，設(shè)E為CD的中點，連結(jié)PE、OE，∠PEO就是二面角P-CD-AD的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的大小．
（2）過O作OM⊥BF于M，連結(jié)PM，則由于PO⊥平面ABCD，PM⊥BF，作OH⊥PM于H，OH的長就等于點O到平面PBF的距離，由此能求出點A到到平面PBF的距離．

解答： 解：（1）連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

2

2

，
PO=AO•tan∠PAO=

1

2

，
設(shè)E為CD的中點，連結(jié)PE、OE，
則OE⊥CD，PE⊥CD，
∴∠PEO就是二面角P-CD-AD的平面角，
在Rt△PEO中，tan∠PAO=

PO

OE

=1，
即∠PAO=

π

4

，
∴二面角P-CD-A的大小為

π

4

．
（2）過O作OM⊥BF于M，
連結(jié)PM，則由于PO⊥平面ABCD，PM⊥BF，
∴BF⊥平面POM，平面POM⊥平面PBF，作OH⊥PM于H，
則OH⊥平面PBF，
即OH的長就等于點O到平面PBF的距離，
∵AF=

1

3

AD=

1

3

BC，設(shè)AC與BF交于點N，
則AN=

1

3

NC，AN=NO
∴點A到平面PBF的距離就等于點O到平面PBF的距離，
作AQ⊥BF于Q，則AQ=OM=

10

10

，
在Rt△PMH中，OH=

PO•OM

PM

=

14

14

，
故點A到到平面PBF的距離為

14

14

．

點評：本題考查二面角的大小的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．