如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,2AB=2BC=CC1=2,D是棱CC1的中點.
(Ⅰ)求證B1D⊥平面ABD;
(Ⅱ)平面AB1D與側(cè)面BB1C1C所成銳角的大。
分析:(法一)
(I)由已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,易得AB⊥平面BB1C1C,從而可得AB⊥DB1;由2AB=2BC=CC1=2,D是棱CC1的中點可證B1D2+BD2=BB12,即可證BD⊥B1D,從而可證
(II)由(Ⅰ)知BD⊥B1D,AD⊥B1D,則∠ADB就是平面AB1D與側(cè)面BB1C1C的成角的平面角,Rt△ABD中求解∠ADB即可
(法二:向量法)
(I)結(jié)合條件考慮分別以BC、BA、BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,要證B1D⊥平面ABD?證明B1D⊥BD,B1D⊥AB?
BD
B1D
=0   
B1D
AB
=0

(II)易知平面BB1C1C的法量為
BA
,求出平面AB1D的法向量
n
,代入公式cosθ=
BA
n
|BA
||
n
|
求解即可
解答:解:方法一:
(Ⅰ)證明:在Rt△B1C1D中,∠B1C1D=90°,B1C1=1,C1D=
1
2
C1
C=1
∴B1D=
2
,同理BD=
2

在△B1DB中,∵B1D2+BD2=B1B2∴∠B1DB=90°
即B1D⊥BD又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°
∴AB⊥平面BB1C1C,而B1D?平面BB1C1C,∴B1D⊥ABAB∩BD=B∴B1D⊥平面ABD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BD⊥B1D,AD⊥B1D,平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D
∴∠ADB就是平面AB1D與側(cè)面BB1C1C的成角的平面角
在Rt△ABD中,∠ABD=90°,AB=1,BD=
2

∴tan∠ADB=
AB
BD
=
1
2
=
2
2
,∴∠ADB=arctan
2
2

即平面AB1D與側(cè)面BB1C1C所成銳角的大小為arctan
2
2
.(12分)
方法二:
證明:(Ⅰ)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz
則A(0,1,0),B(0,0,0)C(1,0,0),
D(1,0,1),B1(0,0,2),C1(1,0,2)
于是
B1D
=(1,0,-1),
BD
=(1,0,1),
AD
=(1,-1,1),
BA
=(0,1,0)
(Ⅰ)∵
.
B1D
.
BD
=(1,0,-1)(1,0,1)=0
.
B1D
.
AD
=(1,0,-1)(1,-1,1)=0
.
B1D
.
BD
,
.
B1D
.
AD
,即B1D⊥BD,B1D⊥AD,
又AD∩BD=D∴B1D⊥平面ABD1
(Ⅱ)設(shè)平面AB1D的法向量為
n
=(a,b,c),
則由
n
B1D
=0
n
AD
=0
a-c=0
a-b+c=0

令c=1得a=1,b=2∴n=(1,2,1),
易知平面BB1C1C的法向量為
BA
=(0,1,0)
設(shè)平面AB1D與平面BB1C1C所成角的大小為θ
則cosθ=
n
BA
|
n
||
BA
|
=
6
3

即平面AB1D與側(cè)面BB1C1C所成銳角的大小為arccos
6
3
.(12分)
點評:本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系:利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的運用;二面角的平面角的作法利用定義法及空間向量法求解二面角的平面角,考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力,是對基本知識與基本方法的綜合考查.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案