Question

【題目】已知定義在R上奇函數(shù)f(x)在時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分.

（1）請補全函數(shù)f(x)的圖象；

（2）寫出函數(shù)f(x)的表達式；

（3）討論方程|f(x)|=a的解的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）利用奇函數(shù)關(guān)于原點對稱可得圖象；

（2）時，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，頂點在，且過原點利用拋物線的頂點式寫出其解析式即可，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得f(x)的表達式；

（3）方程|f(x)|=a的解的個數(shù)，即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.

解：（1）補全f(x)的圖象如圖所示：

（2）當(dāng)時，設(shè)，由f(0)=0得，a=2，

所以此時，.

當(dāng)x<0時，x>0，所以①

又f(x)=f(x)，代入①得

綜上可得，.

（3）方程|f(x)|=a的解的個數(shù)，即函數(shù)|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數(shù)，函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖2所示，

由圖象可得，當(dāng)a<0時，方程無解；當(dāng)a=0時，方程有三個解；

當(dāng)0<a<2時，方程有6個解；當(dāng)a=2時，方程有4個解；當(dāng)a>2時，方程有2個解.