Question

（選做題）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果?x∈R，f（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=2，不等式即|x+1|+|x-2|≥5，根據(jù)絕對(duì)值的意義可得當(dāng)x≤-2或x≥3時(shí)，|x+1|+|x-2|≥5成立，由此求得不等式的解集．
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不滿足題設(shè)條件．若a＜-1，求得f（x）的最小值等于-1-a，若a＞-1，求得f（x）的最小值等于 1+a，根據(jù)f（x）≥3的充要條件是|a+1|≥3，求出a的取值范圍．
解答：解：（I）當(dāng)a=2，f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式f（x）≥5即|x+1|+|x-2|≥5．
而|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，且-2和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，
故當(dāng)x≤-2或x≥3時(shí)，|x+1|+|x-2|≥5成立．
綜上，不等式的解集為{x|x≤-2或x≥3}．（5分）
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不滿足題設(shè)條件．
若a＜-1，f（x）=，f（x）的最小值等于-1-a．
若a＞-1，，f（x）的最小值等于 1+a．
所以?x∈R，f（x）≥3的充要條件是|a+1|≥3，故有a≤-4，或 a≥2，
從而a的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)最值及其幾何意義，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．