Question

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A（2，π），動(dòng)點(diǎn)B在直線ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的最短長(zhǎng)度為

 

（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，則f（x）的最小值為

 

（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長(zhǎng)為6，其外接圓的半徑長(zhǎng)為5，則三角形ABC的面積是

 

．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)的和角公式展開曲線C的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．將直線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，再在直角坐標(biāo)系中算出點(diǎn)到直線的距離，即線段AB的最短長(zhǎng)度．
（2）先看1≤x≤2求得f（x）的值，再看x＜1時(shí)，f（x）的解析式為直線方程，單調(diào)減，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；最后看x＞2時(shí)，函數(shù)的解析式為直線方程，單調(diào)增，利用x的范圍判斷出函數(shù)的值域；最后綜合求得答案．
（3）如圖由等腰三角形的外心在三角形的底邊的高上，根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）直線 ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

的直角坐標(biāo)方程為：
x+y-1=0，
定點(diǎn)A（2，π）的直角坐標(biāo)（-2，0），
它到直線的距離：
d=

|-2-1|

2

=

3 2

2

．
則線段AB的最短長(zhǎng)度為

3 2

2

．
故答案為：

3 2

2

．
解：（2）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=2-x+x-1=1
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=1-x-x+2=-2x+1＞1
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=x-1+x-2=2x-3＞1
∴函數(shù)f（x）的最小值為1
故答案為：1
解：（3）連接OB交AC于D，連接OC，
∵圓O是等腰三角形的外接圓，O是外心，
∴BD⊥AC，AD=DC=3，
如圖，可求OD=4，
BD=5-4=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×1=3；
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：（1）本小題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．
（2）本題主要考查了函數(shù)的值域問題．解題過程采用了分類討論的思想，也可采用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出函數(shù)的圖象，觀察出函數(shù)的最小值．
（3）本題主要考查了三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出高BD的長(zhǎng)度．此題用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．題目較好．