【題目】石雕工藝承載著幾千年的中國(guó)石雕文化，隨著科技的發(fā)展，機(jī)器雕刻產(chǎn)品越來(lái)越多．某石雕廠計(jì)劃利用一個(gè)圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個(gè)球體，下方是一個(gè)正四棱柱，經(jīng)測(cè)量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱(chēng)為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個(gè)球體，將圓柱B切割打磨為一個(gè)長(zhǎng)方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.

【答案】

【解析】

要求加工打磨后所得工藝品的體積的最大值，只需上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值即可.

因?yàn)閳A柱A和圓柱B的體積一樣大，所以它們的高一樣，即米，

要使工藝品的體積最大，則上方的球與下方的長(zhǎng)方體的體積同時(shí)取得最大值，

設(shè)由圓柱A打磨的球體半徑為，則，即，所以，

當(dāng)時(shí)，球的體積取得最大值，此時(shí)球體體積，

設(shè)下方的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為，，

要使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的高與圓柱B的高相等，此時(shí)其體積，

因?yàn)殚L(zhǎng)方體為圓柱B的內(nèi)接長(zhǎng)方體，即長(zhǎng)方體的底面是圓柱底面的內(nèi)接長(zhǎng)方形，

所以長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于圓柱底面的直徑，即，

由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以長(zhǎng)方體體積的最大值為，

所以所得工藝品的體積的最大值為(立方米).

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成的角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，.

（1）證明：平面；

（2）若，棱上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，確定點(diǎn) 的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

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【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是線段B1C（含端點(diǎn)）上的一動(dòng)點(diǎn)，則

①OE⊥BD1；

②OE面A1C1D；

③三棱錐A1﹣BDE的體積不是定值；

④OE與A1C1所成的最大角為90°．

上述命題中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A.1B.2C.3D.4

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上取兩點(diǎn)、于原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

空氣質(zhì)量等級(jí)

[0，200]

(200，400]

(400，600]

1（優(yōu)）

2

16

25

2（良）

5

10

12

3（輕度污染）

6

7

8

4（中度污染）

7

2

0

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400

人次>400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

附：，

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)， 時(shí)，對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（1）若函數(shù)在定義域上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．

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