Question

甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)對(duì)抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當(dāng)，且已知甲先贏了前兩局，求：
（1）乙取勝的概率；
（2）比賽進(jìn)行完七局的概率．
（3）記比賽局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）乙取勝有兩種情況一是乙連勝四局，二是第三局到第六局中乙勝三局，第七局乙勝，由此能求出乙勝概率．
（2）比賽進(jìn)行完7局有兩種情況：一是甲勝，第3局到第6局中甲勝一局，第7局甲勝，二是乙勝，由此能求出比賽進(jìn)行完七局的概率．
（3）由題意得ξ=4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）乙取勝有兩種情況
一是乙連勝四局，其概率P1=(

1

2

)4=

1

16

二是第三局到第六局中乙勝三局，第七局乙勝，
其概率P2=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)•

1

2

=

1

8

，
所以乙勝概率為P1+P2=

3

16

．
（2）比賽進(jìn)行完7局有兩種情況：
一是甲勝，第3局到第6局中甲勝一局，第7局甲勝，
其概率p3=

C

1 4

•

1

2

(1-

1

2

)3•

1

2

=

1

8

．
二是乙勝，同（1）中第二種情況，
P₄=P₂=

1

8

，
∴比賽進(jìn)行完七局的概率為：P₃+P₄=

1

4

．
（3）由題意得ξ=4，5，6，7，
P（ξ=4）=（

1

2

）²=

1

4

，
P（ξ=5）=

C

1 2

(

1

2

)2•

1

2

=

1

4

，
P（ξ=6）=（

1

2

）⁴+

C

1 3

(

1

2

)3•

1

2

=

1

4

，
P（ξ=7）=

1

4

，
所以ξ的分布列為

ξ	4	5	6	7
P	1 4	1 4	1 4	1 4

Eξ=（4+5+6+7）×

1

4

=

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．