Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）當m=2時，求f（x）的解析式；
（II）設曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k，且對于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）f（x）是定義在R上的奇函數，設x＜0，則-x＞0應用f（x）=2x³+mx²+（1-m）x求解，再由f（0）=0得解．
（Ⅱ）因為曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率為k所以由（I）求導f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

再由對任意的x₀∈[-1，1]，總能-1≤k≤9，則在任意x₀∈[-1，1]時，-1≤f'（x）≤9恒成立，又因為f'（x）是偶函數∴對任意x₀∈（0，1]時，-1≤f'（x₀）≤9恒成立即可．

解答：解：（I）∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0．
當x＞0時，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
當x＜0時，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) 2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．
當m=2時，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0) 2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲線y=f（x）在x=x₀處的切線斜率，對任意的x₀∈[-1，1]，總能不小于-1且不大于9，
則在任意x₀∈[-1，1]時，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函數
∴對任意x₀∈（0，1]時，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰當-

m

6

≤0時，由題意得

f′(0)≥-1 f′(1)≤9

∴0≤m≤2
2⁰當0＜-

m

6

≤1時
∴

f′(- m 6 ) ≥-1 f′(0)≤9 f′(0)≤9

∴-6≤m＜0
3⁰當-

m

6

＞1時∴

f′(0)≤9 f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6
綜上：-8≤m≤2
∴實數m的取值范圍是{m|-8≤m≤2}．

點評：本題主要考查利用奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式和二次函數研究最值解決恒成立問題．