Question

已知拋物線C：y²=ax的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)K（-1，0）為直線l與拋物線C準(zhǔn)線的交點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D．
（1）求拋物線C的方程．
（2）證明：點(diǎn)F在直線BD上；
（3）設(shè)

FA

•

FB

=

8

9

，求△BDK的面積．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)K（-1，0）為直線l與拋物線C準(zhǔn)線的交點(diǎn)，知-

a

4

=-1，a=4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）．將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，再由韋達(dá)定理能夠證明點(diǎn)F（1，0）在直線BD上．
（3）由x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，知

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，

FA

•

FB

=(x1-1) (x2-1) +y1y2=8-4m²，由此能夠?qū)С觥鰾DK的面積．

解答：解：（1）∵點(diǎn)K（-1，0）為直線l與拋物線C準(zhǔn)線的交點(diǎn)，
∴-

a

4

=-1，a=4，由此能求出拋物線C的方程y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）．將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
直線BD的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
即y-y2=

4

y2-y1

(x-

y22

4

)令y=0，得x=

y1y2

4

=1
所以點(diǎn)F（1，0）在直線BD上
（3）由①知，x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，
x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，

FA

•

FB

=(x1-1) (x2-1) +y1y2=8-4m²
故8-4m2=

8

9

，解得m=±

4

3

，
所以l的方程為3x+4y+3=0，3x-4y+3=0，
又由①知y1+y2=4m=

16

3

故S△BDK=

1

2

|KF|•|y1+y2|=

1

2

×2×

16

3

=

16

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)變換．