Question

9．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，則方程f[f（x）]=2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為7．

Answer 1

分析 由f[f（x）]=2得：f（x）=1，或f（x）=5，或f（x）=$\frac{5}{4}$，分類討論可得方程f[f（x）]=2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，
若f（x）≤1，則f[f（x）]=$\frac{{2}^{f（x）}+2}{2}$=2，解得：f（x）=1，
若f（x）＞1，則f[f（x）]=|log₂（f（x）-1）|=2，解得：f（x）=5，或f（x）=$\frac{5}{4}$，
若x≤1，則f（x）=$\frac{{2}^{x}+2}{2}$∈（1，2]，
由f（x）=$\frac{5}{4}$，則x=-1，
若x＞1，則f（x）∈[0，+∞），
由f（x）=1得：x=$\frac{3}{2}$，或x=3，
由f（x）=5得：x=$\frac{33}{32}$，或x=33，
由f（x）=$\frac{5}{4}$得：x=1+$2\root{4}{5}$，或x=1+$\frac{1}{2\root{4}{5}}$，
綜上所述，方程f[f（x）]=2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為7個(gè)，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．