【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+ (x>0).
(1)若y=g(x)﹣m有零點,求m的取值范圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)﹣f(x)=0有兩個相異實根.
【答案】
(1)解:∵g(x)=x+ ≥2 =2e;
(當且僅當x= ,即x=e時,等號成立)
∴若使函數(shù)y=g(x)﹣m有零點,
則m≥2e;
故m的取值范圍為[2e,+∞)
(2)解:令F(x)=g(x)﹣f(x)
=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,
F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);
故當x∈(0,e)時,F(xiàn)′(x)<0,x∈(e,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0;
故F(x)在(0,e)上是減函數(shù),在(e,+∞)上是增函數(shù),
故只需使F(e)<0,
即e+e+e2﹣2e2﹣m+1<0;
故m>2e﹣e2+1
【解析】(1)由基本不等式可得g(x)=x+ ≥2 =2e,從而求m的取值范圍;(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,求導F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值,從而確定m的取值范圍.
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【題目】已知曲線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)).
(1)將兩曲線化成普通坐標方程;
(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.
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【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(Ⅰ)求證:AC⊥FB
(Ⅱ)求二面角E﹣FB﹣C的大。
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【題目】對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的,則錯誤的結(jié)論是( )
A.﹣1是f(x)的零點
B.1是f(x)的極值點
C.3是f(x)的極值
D.點(2,8)在曲線y=f(x)上
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【題目】已知橢圓右頂點與右焦點的距離為,短軸長為
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點,若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。
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【題目】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖,此函數(shù)的解析式為( )
A.y=2sin(2x+ )??
B.y=2sin(2x+ )??
C.y=2sin( ﹣ )??
D.y=2sin(2x﹣ )
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【題目】設m∈R,復數(shù)z=(m2﹣3m﹣4)+(m2+3m﹣28)i,其中i為虛數(shù)單位.
(1)當m為何值時,復數(shù)z是虛數(shù)?
(2)當m為何值時,復數(shù)z是純虛數(shù)?
(3)當m為何值時,復數(shù)z所對應的點在復平面內(nèi)位于第四象限?
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【題目】已知數(shù)列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2(n≥2),b1=1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 滿足Sn=4an+2
(1)求證:{bn+1}是等比數(shù)列并求出數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和公式.
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【題目】已知數(shù)列滿足記數(shù)列的前項和為,
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求其通項;
(2)求;
(3)問是否存在正整數(shù),使得成立?說明理由.
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