Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，M為AD的中點，PA=2AB=4．
（1）求證：EM∥平面PAB；
（2）求證：PC⊥AE；
（3）求三棱錐P-ACE的體積V．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)證明ME∥PA即可；
（2）取PC中點F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PC⊥AF，先證明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，從而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，進而證得PC⊥AE；
（3）由（1）知AC=4，EF=

1

2

CD，且EF⊥平面PAC，求得EF 的值，代入V=V_E-PAC進行運算．

解答： （1）證明：∵E為PD的中點，M為AD的中點，
∴在△PAD的中，ME∥PA…（1分）
又PA?平面PAB，ME?平面PAB…（2分）
則EM∥平面PAB，…（3分）
（2）證明：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
∴BC=2

3

，AC=4．
取PC中點F，連AF，EF，
∵PA=AC=4，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（3）解：由（1）知AC=4，EF=

1

2

CD，且EF⊥平面PAC．
在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=60°，
∴CD=4

3

，得EF=2

3

．
則V=V_E-PAC=

1

3

•

1

2

•4•4•2

3

=

16 3

3

點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，取PC中點F，AD中點M，利用三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．