Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù)．

（1）令，，，猜想的表達(dá)式，并給出證明；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)，，由，得到，，…，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（2）由恒成立，得到恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法研究成立即可.

（1）因?yàn)?/span>，．

所以，，…，可猜想．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．

則當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．

由①②可知，結(jié)論對(duì)成立．

（2）法1：已知恒成立，即恒成立．

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立），

∴在上單調(diào)遞增．

又，∴在上恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，

∴在上單調(diào)遞減，∴．

即當(dāng)時(shí)，存在，使，

∴不恒成立．

綜上可知，的取值范圍是．

法2：已知恒成立，即恒成立．

當(dāng)時(shí)，無(wú)論取什么值，都成立；

當(dāng)時(shí)，，

令，，

∴，

令，∴，

故在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴在上單調(diào)遞增，

∵，

∴，即的取值范圍是．

法3：已知恒成立，

即恒成立．，

，

令，∵，∴，

所以函數(shù)的圖象不在函數(shù)的圖象的上方，其中，

∵，∴在上單調(diào)遞增，

又∵在上單調(diào)遞增，且，，

∴的圖象如圖所示，

的圖象恒過(guò)點(diǎn)，

∴由圖象可知．