Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動點．

（1）當(dāng)E為BC的中點時，求證：PE⊥DE；
（2）設(shè)PA=1，在線段BC上存在這樣的點E，使得二面角P﹣ED﹣A的平面角大小為 ．試確定點E的位置．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

不妨設(shè)AP=a，則P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），

從而 ，

于是 =（1，1，﹣a）（1，﹣1，0）=0，

所以 ，所以PE⊥DE

（2）解：設(shè)BE=x，則P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），

則

向量 為平面AED的一個法向量．設(shè)平面PDE的法向量為 ，

則應(yīng)有 即 解之得c=2b，令b=1，則c=2，a=2﹣x，

從而 ，

依題意 = ，即 ，解之得 （舍去），

所以點E在線段BC上距B點的 處

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=a，用坐標(biāo)表示點與向量，證明 =0，即可證PE⊥DE；（2）設(shè)BE=x，求得向量 為平面AED的一個法向量，平面PDE的法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．