Question

若0＜a＜,求證：b-b²＜.

Answer 1

證法一：＞=,只要證＞b-b²,

∵b＞0,∴只要證 ＞1-b,

    即1＞1-b²,即b²＞0.

    由題意，b²＞0成立，因此原不等式成立.

證法二：要證b-b²＜,只要證(b-b²)(a+1)＜1,

①若b≥1,則有b-b²≤0,

    故(b-b²)(a+1)≤0＜1成立;

②若0＜b＜1,由0＜a＜得0＜ab＜1,

(b-b²)(a+1)=ab(1-b)+b-b²＜(1-b)+b-b²=1-b²＜1.

    綜上，(b-b²)(a+1)＜1成立,因此原不等式也成立.

證法三：(構(gòu)造一次函數(shù)求解)由條件0＜a＜,即a∈(0,),若將a視為未知數(shù)，用x代替,

即證x∈(0,)時(shí)，(b-b²)(x+1)＜1，即證(b-b²)(x+1)-1＜0.

    設(shè)f(x)=(b-b²)(x+1)-1=(b-b²)x+(b-b²)-1,即證x∈(0,)時(shí)，f(x)＜0.

    而f(x)為x的一次函數(shù),且f(0)=(b-b²)-1=-(b²-b+1)＜0,f()=-b²＜0,

    因此當(dāng)x∈(0,)時(shí)，f(x)＜0成立,

    從而原不等式成立.

證法四：(構(gòu)造二次函數(shù))由0＜a＜得0＜b＜,故還可將b看作未知數(shù)，通過構(gòu)造二次函數(shù)來證明.

    設(shè)g(x)=x²-x+,0＜x＜,對(duì)稱軸為x=,

①當(dāng)≤,即a≥2時(shí)，g(x)在(0,)上是減函數(shù),

∴x∈(0,)時(shí)，g(x)＞g()=-+=＞0;

②當(dāng)＞，即0＜a＜2時(shí),

∴x∈(0,)時(shí)，g(x)＞g()=-＞0.

    綜合①②知，x∈(0,)時(shí)，x²-x+＞0恒成立,

    即x-x²＜,因此原不等式成立.