Question

求證：已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0．

Answer 1

分析：法一：證明原命題的逆否命題為真命題，利用原命題與逆否命題真假一致，即可得到結(jié)論；
法二：反證法，假設(shè)a+b＜0，可得f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），這與已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）相矛盾．

解答：證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”．
若a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
即原命題的逆否命題為真命題，
∴原命題為真命題．
法二：假設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
這與已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）相矛盾，
因此假設(shè)不成立，故a+b≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查綜合法、反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．