Question

點(diǎn)P（-3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P（-3，1）且方向?yàn)?span id="rgi9qqe" class="MathJye">

a

=(2，-5)的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)對(duì)稱性可知光線經(jīng)過(guò)直線y=-2反射后的直線過(guò)已知過(guò)點(diǎn)P（-3，1）且方向?yàn)?

m

=（2，-5）的直線 與y=-2的交點(diǎn)，反射后所在的直線與x軸的交點(diǎn)即為橢圓的左焦點(diǎn)，從而可求c，再根據(jù)點(diǎn)P（-3，1）在橢圓的左準(zhǔn)線上，求得a和c的關(guān)系求得a，則橢圓的離心率可得．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)P（-3，1）的方向

a

=（2，-5）
所以K_PQ=-

5

2

，
根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式得：l_PQ的方程為y-1=-

5

2

（x+3），
與y=-2的交點(diǎn)為 (-

9

5

，-2)
光線經(jīng)過(guò)直線y=-2反射后所在的直線方程為y+2=

5

2

(x+

9

5

)，
與x軸的交點(diǎn)（-1，0）即為橢圓的左焦點(diǎn)
得：c=1，

a2

c

=3，則a=

3

，
所以橢圓的離心率e=

c

a

=

3

3

，
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、利用對(duì)稱性求解直線方程，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)反射關(guān)系過(guò)入射關(guān)系與y=-2的焦點(diǎn)，還要注意方向向量的概念的理解．