Question

函數(shù)y=f（x）對于任意正實數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），當(dāng)x＞1時，0＜f（x）＜1，且f（2）=．
（1）求證：；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；并證明；
（3）若f（m）=3，求正實數(shù)m的值．

Answer 1

證明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又，
∴f（1）=1，…（2分）
令，得； …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（）=f（x₁）-f（）f（x₁）=f（x₁）[1-f（）]，…（7分）
而當(dāng)x＞0時，，且由（1）可知，，f（x）≠0，
則當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；…（10分）
（3）∵，
∴f（）==9，
又，且，
∴f（）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，m是正實數(shù)，
∴m=…（16分）
分析：（1）令x=1，y=2，結(jié)合f（2）=可求得f（1）=1，再令y=，可證明；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則，作差f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）[1-f（）]，結(jié)合（1）即可判斷f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減性；
（3）由=可求得f（）=3，結(jié)合（2）f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)可求m的值．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其用，關(guān)鍵在于對條件及證明過的結(jié)論的靈活應(yīng)用，屬于難題．