函數(shù)y=f（x）對于x＞0有意義，且滿足條件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是增函數(shù)．
（1）證明：f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范圍．
分析：（1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），結(jié)合題意可將f（x）+f（x-3）≥2轉(zhuǎn)化為f（x2-3x）≥f（4），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的定義域，可得
x＞0
x-3＞0
x2-3x≥4
，解可得x的值．
解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=2，y=1，則f（2×1）=f（2）+f（1），
又由f（2）=1，則f（1）=0；
（2）令x=2，y=2，則f（2×2）=f（4）=f（2）+f（2）=2，
所以f（x）+f（x-3）=f（x2-3x）≥f（4），
又f（x）為增函數(shù)
所以
x＞0
x-3＞0
x2-3x≥4
，
綜上，x≥4．
點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，解（2）的關(guān)鍵是根據(jù)題意，分析出f（4）=2，進而用f（4）替換2，其次要注意函數(shù)的定義域．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）對于一切實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）求f（0）并證明y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）=3，求f（-3）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數(shù)”．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）對于任意正實數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），當x＞1時，0＜f（x）＜1，且f（2）=
1
9
．
（1）求證：f(x)f(
1
x
)=1(x＞0)；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；并證明；
（3）若f（m）=3，求正實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法中，正確的個數(shù)為（　　）
①函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
②函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（x）的圖象關(guān)于直線y=0對稱；
③函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（-x）的圖象關(guān)于坐標原點對稱；
④如果函數(shù)y=f（x）對于一切x∈R，都有f（a+x）=f（a-x），那么y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案