Question

已知點A（-1，O），B（1，0），動點M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ，|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3．
（I）求曲線C的方程；
（II）試探究曲線C上是否存在點P，使直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，根據(jù)余弦定理，及|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，可得|

AM

|+|

BM

|=4，從而可得點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓（點M在x軸上也符合題意），由此可得曲線C的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C是橢圓，它的兩個焦點坐標分別為A（-1，0），B（1，0），利用直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1可得方程，根據(jù)雙曲線的兩個頂點在橢圓內，結合橢圓和雙曲線的對稱性可得結論．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
根據(jù)余弦定理得|

AM

|2+|

BM

|2-2|

AM

|•|

BM

|cos2θ=4．…（2分）
即(|

AM

|+|

BM

|)2-2|

AM

|•|

BM

|(1+cos2θ)=4(|

AM

|+|

BM

|)2-4|

AM

|•|

BM

|cosθ=4．
而|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，所以(|

AM

|+|

BM

|2)-4×3=4．
所以|

AM

|+|

BM

|=4…（5分）
又|

AM

|+|

BM

|=4＞2=|AB|
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓（點M在x軸上也符合題意），所以a=2，c=1．
所以曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C是橢圓，它的兩個焦點坐標分別為A（-1，0），B（1，0），
設P（x，y）是橢圓上的點，
∵k_PA•k_PB=1，∴

y

x+1

•

y

x-1

=1(x≠±1)，
∴x²-y²=1（x≠±1），…（11分）
這是實軸在x軸，頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線，它與橢圓的交點即為點P．
由于雙曲線的兩個頂點在橢圓內，根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個交點．
即圓心M的軌跡上存在四個點P，使直線PA與PB的斜率k_PA•k_PB=1．…（14分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查橢圓的標準方程，考查橢圓與雙曲線的對稱性，正確運用向量知識是關鍵．