Question

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)，如果|AB|最大時(shí)，求證A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O不對(duì)稱；
（3）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先由橢圓定義知：2a=4，再把（1，1）代入得即可求得橢圓方程，從而求得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），再取橢圓上一點(diǎn)M（-2，0），從而此時(shí)|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立．
（III）設(shè)AC方程為：y=k（x-1）+1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合點(diǎn)A（1，1）在橢圓上C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直線CD的斜率為定值．

解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1∴b2=

4

3

，則橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1，
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

，∴c=

2 6

3

故兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)（4分）

（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
此時(shí)|AB|=2

2

取橢圓上一點(diǎn)M（-2，0），則|AM|=

10

.∴|AM|＞|AB|．
從而此時(shí)|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立．（8分）

（III）設(shè)AC方程為：y=k（x-1）+1
聯(lián)立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵點(diǎn)A（1，1）在橢圓上∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

（10分）
∵直線AC、AD傾斜角互補(bǔ)
∴AD的方程為y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

（11分）
又y_c=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k
所以kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

即直線CD的斜率為定值

1

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、橢圓方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．