Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是和的中點(diǎn)．

（）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．

（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（）．（）存在，．

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，根據(jù)平行公理得即為異面直線(xiàn)與所成角，再根據(jù)直角三角形解角，（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，則根據(jù)三垂線(xiàn)定理得為二面角的平面角，再根據(jù)直角三角形解得.

試題解析：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，

又∵為中點(diǎn)，

∴，

連結(jié)，則即為異面直線(xiàn)與所成角，

∵為中點(diǎn)，正方體邊長(zhǎng)為，

∵，，

∴，

故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．

（）存在，在棱上取一點(diǎn)，

由題意可知，面，

連結(jié)，交于點(diǎn)，易知，，

連結(jié)，則為二面角的平面角，

當(dāng)時(shí)，即，

解得，

∴當(dāng)時(shí)，二面角的大小為．