Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1，|f（-1）|=|f（1）|=1，試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一實(shí)根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=0，則|f（0）|=|c|=1，令x=-1，則f（-1）=a-b+c=1，令x=1，則|f（1）|=|a+b+c|=1，然后分類討論進(jìn)行求解．
（Ⅱ）當(dāng)x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

時(shí)：可知f（x）在（x₁，x₂）內(nèi)是單調(diào)的．設(shè)f（x₁）＜f（x₂），則必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），因此必然存在實(shí)數(shù)m∈（x₁，x₂）滿足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．由此入手能夠證明方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不等實(shí)根，必有一實(shí)根屬于（x₁，x₂）．

解答：解：（Ⅰ）令x=0，則|f（0）|=|c|=1，令x=-1，則f（-1）=a-b+c=1，令x=1，則|f（1）|=|a+b+c|=1，下面分類討論，①若f（0）=f（-1）=1，由于二次函數(shù)只能有兩根相同，則f（1）=-1 所以c=1，a-b+c=1，a+b+c=-1 解得a=-1，b=-1，c=1，不符合a＞0的條件，舍去 ②若f（1）=1，則f（0）=-1 c=-1，a+b+c=1，a-b+c=1，解得a=2，b=0，c=-1，不符合bc≠0的條件，舍去 ③若f（1）=-1，f（0）=-1，則 c=-1，a+b+c=-1，a-b+c=1 解得a=1，b=-1，c=-1，滿足綜上所述：f（x）=x²-x-1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

時(shí)：可知f（x）在（x₁，x₂）內(nèi)是單調(diào)的．
設(shè)f（x₁）＜f（x₂），
則必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），
因此必然存在實(shí)數(shù)m∈（x₁，x₂）滿足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．
同理當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）時(shí)也成立．當(dāng)x₁＜-

b

2a

且x₂＞-

b

2a

時(shí)：若-

b

2a

＜-x₁＜x₂+

b

2a

，
可設(shè)x₁′=-

b

a

-x₁，
則有f（x₁′）=f（x₁），
且f（x）在（x₁′，x₂）是單調(diào)的，以后證法同上．
同理當(dāng)-

b

2a

＞-x₁＞x2+

b

2a

時(shí)也成立．
綜上所述：方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個(gè)不等實(shí)根，必有一實(shí)根屬于（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．