Question

已知函數(shù)f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤

π

2

時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用降冪公式和輔助角公式，將f（x）進(jìn)行整理，得f（x）=sin(2x-

π

3

)，然后根據(jù)正弦函數(shù)周期的公式可得函
f（x）的最小正周期為π，最后求出函數(shù)的零點，即可得到f（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，得到2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，最后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

(cos2x+1)+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin(2x-

π

3

)…（5分）
所以f（x）的最小正周期為π．…（6分）
令sin(2x-

π

3

)=0，得2x-

π

3

=kπ，
∴x=

k

2

π+

π

6

，k∈Z．
故所求對稱中心的坐標(biāo)為(

k

2

π+

π

6

，0)，(k∈Z)．…（9分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

∴0≤2x≤π⇒-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．…（11分）
∴當(dāng)x=0時，f（x）=sin(2x-

π

3

)取最小值-

3

2

，
當(dāng)x=

5π

12

時，f（x）=sin(2x-

π

3

)取最大值1，
∴f（x）的值域為[-

3

2

，1]．…（13分）

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和正弦函數(shù)的周期性、對稱性等性質(zhì)，屬于中檔題．