已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)-x的最大值;(注明:其中(ln(x+1))′=
1
x+1

(2)求證:(1+
1
n
)n<e(n∈N*,e=2.71828…)
;
(3)當(dāng)0<a<b時(shí),求證:f(b)-f(a)>
2a(b-a)
a2+b2
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x,得g'(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出;
(2)利用(1)的結(jié)論:令x=
1
n
,則ln(1+
1
n
)
1
n
,化簡即可證明;
(3)f(b)-f(a)=lnb-lna=ln
b
a
=-ln
a
b
=-ln(1+
a-b
b
)
,利用(1)的結(jié)論可得:ln(1+
a-b
b
)
a-b
b
,可得ln
b
a
>-
a-b
b
=
b-a
b
.由a2+b2>2ab,可得
1
b
2a
a2+b2
,即可證明.
解答: (1)解:g(x)=f(x+1)-x=ln(x+1)-x,得g'(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
,
∴x∈(-1,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;x∈(0,+∞),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
∴g(x)max=g(0)=0.
(2)證明:由(1)可知:x∈(0,+∞),g(x)<0,
∴l(xiāng)n(x+1)<x,
令x=
1
n
,則ln(1+
1
n
)
1
n

(1+
1
n
)n
<e.
(3)證明:f(b)-f(a)=lnb-lna=ln
b
a
=-ln
a
b
=-ln(1+
a-b
b
)
,
由(1)可知,ln(x+1)<x,
a-b
b
∈(-1,0)

ln(1+
a-b
b
)
a-b
b
,∴ln
b
a
>-
a-b
b
=
b-a
b

∵0<a<b,∴a2+b2>2ab,∴
1
b
2a
a2+b2

ln
b
a
2a(b-a)
a2+b2
,
∴f(b)-f(a)>
2a(b-a)
a2+b2
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、利用單調(diào)性證明不等式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積是( 。
A、
b
a
f(x)dx
B、-
b
a
f(x)dx
C、
b
a
|f(x)|dx
D、|
b
a
f(x)dx|

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=mlnx+
m
2
x2
-x(m≠0)
(1)若函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為1,求m的值
(2)若函數(shù)在[1,+∞)單調(diào)遞增,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,△PAD是等邊三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E是線段AD的中點(diǎn).
(1)試在線段AB上找一點(diǎn)F,使平面PCF⊥平面PBE,并說明理由;
(2)在(1)的條件下,求二面角E-PC-F的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2013年6月在成都舉行的“《財(cái)富》全球論壇”,是繼北京、上海、香港后,“論壇”第四次來到中國,也是首次登陸中國內(nèi)陸地區(qū),在一場分論壇中,A、B、C三個(gè)國家共派了五名嘉賓發(fā)言,其中A、B國各派兩名,C國派一名.如果要求同一國家的嘉賓不能連續(xù)出場,則不同的安排順序有( 。
A、96種B、48種
C、40種D、32種

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若直線ax+by=1與不等式
y≤1
2x-y-1≤0
2x+y+1≥0
,表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn),則2a+3b的取值范圍是( 。
A、(-7,1)B、(-3,5)
C、(-7,3)D、R

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0),點(diǎn)A(6,3),若點(diǎn)M在拋物線C上,則|MA|+|MF|的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
mx2-x
,g(x)=lnx.
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)h(x)=eg(x)•f(x),當(dāng)m=
2
3
時(shí),求h(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)+(2-m)x,求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

集合A={x∈Z|
2x-1
x-4
<1
},B={x∈N|lg(x-1)
1
2
},從集合A,B中各取一個(gè)元素a,b,則a≠b的概率為( 。
A、
1
9
B、
8
9
C、
11
12
D、
37
40

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同步練習(xí)冊(cè)答案