Question

已知，，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)的最大值；
(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

(Ⅰ)直線的方程為. .
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ)

試題分析：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為.  ∴直線的方程為. 又∵直線與函數(shù)的圖象相切,
∴方程組有一解. 由上述方程消去，并整理得
        ①
依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
解之，得或      .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 
 .  .
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ) .
，  ， .
由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)，  ∴當(dāng)時(shí)，，
.     ∴
點(diǎn)評(píng)：典型題，切線的斜率，等于在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式的證明問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的最值達(dá)到目的。