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已知動點M到點F(1，0)的距離等于它到直線x＝－1的距離．

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)過點F任意作互相垂直的兩條直線l1，l2，分別交曲線C于點A，B和M，N．

設線段AB，MN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點．

答案：
解析：

　　解：(1)設動點的坐標為，由題意得，，　3分

　　化簡得，所以點的軌跡的方程為．　5分

　　(2)設兩點坐標分別為，，

　　則點的坐標為．

　　由題意可設直線的方程為，

　　由

　　．　7分

　　．

　　因為直線與曲線于兩點，所以，

　　．所以點的坐標為．　9分

　　由題知，直線的斜率為，同理可得點的坐標為．　10分

　　當時，有，此時直線的斜率

　　．

　　所以，直線的方程為，　11分

　　整理得．

　　于是，直線恒過定點；　12分

　　當時，直線的方程為，也過點．

　　綜上所述，直線恒過定點．　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知動點M到點F（1，0）的距離，等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F任意作互相垂直的兩條直線l1，l2，分別交曲線C于點A，B和M，N．設線段AB，MN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△FPQ面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知動點M到點F（-
2
，0）的距離與到直線x=-
2
2
的距離之比為
2
．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過點E（0，1）的直線與曲線C在y軸左側交于不同的兩點A、B，點P（-2，0）滿足
PN
=
1
2
(
PA
+
PB
)，求直線PN在y軸上的截距d的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•深圳二模）已知動點 M 到點 F（0，1）的距離與到直線 y=4 的距離之和為 5．
（1）求動點 M 的軌跡 E 的方程，并畫出圖形；
（2）若直線 l：y=x+m 與軌跡 E 有兩個不同的公共點 A、B，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求弦長|AB|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1個單位長度．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點F任意作互相垂直的兩條直線l1，l2，分別交曲線C于點A、B和M、N，設線段AB、MN的中點分別為P、Q，求證：直線PQ恒過一個定點．

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