Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點(diǎn)A、B和M、N，設(shè)線段AB、MN的中點(diǎn)分別為P、Q，求證：直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1個(gè)單位長(zhǎng)度，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+

2

k2

，

2

k

），同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k），進(jìn)而可確定直線PQ的方程，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，∵動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1個(gè)單位長(zhǎng)度
∴

(x-1)2+y2

=|x|+1
化簡(jiǎn)得y²=4x，
所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
由題意可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+

4

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+

2

k2

，

2

k

）．
由題知，直線l₂的斜率為-

1

k

，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+2k²，-2k）．
當(dāng)k≠±1時(shí)，有1+

2

k2

≠1+2k²，此時(shí)直線PQ的斜率k_PQ=

k

1-k2

．
所以，直線PQ的方程為y+2k=

k

1-k2

（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直線PQ恒過定點(diǎn)E（3，0）；
當(dāng)k=±1時(shí)，直線PQ的方程為x=3，也過點(diǎn)E（3，0）．
綜上所述，直線PQ恒過定點(diǎn)E（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線的聯(lián)立，確定直線PQ的方程．