Question

已知函數(shù)f（x）=

x ex (x≥0) x2+2x(x＜0)

，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個零點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想，若函數(shù)g（x）=f（x）+k有三個零點，也就是f（x）=g（x）-k，即y=-k與f（x）有三個交點，只要求出f（x）的最小值即可．

解答： 解：如圖所示，∵f（x）=

x

ex

（x≥0）
∴f′(x)=

1-x

ex

令f′（x）=0，
則x=1，
當(dāng)0≤x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為f（1）=

1

e

，
∴-k=

1

e

即k=-

1

e

，
∴k的取值范圍是（-

1

e

，0）

點評：本題考查了函數(shù)零點的問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．