Question

已知函數f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；
（2）若直線x+y+m=0對任意m∈R的都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：（1）求導可得f′（x）=3x²-3，解3x²-3=0可得其根，再判斷導函數的符號分析函數的單調性，即可得到極小值；
（2）分析對任意的m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線的含義，即可求出函數f（x）=x³-3ax（a∈R）的導函數，使直線與其不相交即可．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1，
x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（-∞，0）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的極小值為f（1）=-2；
（2）f（x）=x³-3ax（a∈R），則f′（x）=3x²-3a
若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，則直線的斜率為-1，f（x）′=3x²-3a與直線x+y+m=0沒有交點，
又拋物線開口向上則必在直線上面，即最小值大于直線斜率，
則當x=0時取最大值，-3a＞-1，
則a的取值范圍為a＜

1

3

．

點評：本題考查函數的極值問題，考查了函數與方程的綜合應用，以及函數導函數的計算，屬于綜合性問題，計算量小但有一定的難度，屬于中等題．