【題目】已知橢圓的離心率e= ，左、右焦點分別為F1、F2 ， 定點，P（2， ），點F2在線段PF1的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e= = ，則a= c，
橢圓C的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），又點F2在線段PF1的中垂線上
∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（ ）2+（2﹣c）2 ， 解得：c=1，
則a= ，b2=a2﹣c2=1，
∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）證明：由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為y=kx+m
由 消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
設M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
且 = ， =
由已知α+β=π，得 + =0，即 + =0，
化簡，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，
∴2k× ﹣（m﹣k）（ ）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直線MN的方程為y=k（x﹣2），
∴直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率求得a= c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得 = ， = ，由 + =0，結合韋達定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ， a∈R． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有單調遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
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（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設另一直線l與橢圓C交于A，B兩點，原點O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

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【題目】已知無窮數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，其前n項和為Sn ， 且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數(shù)r∈N；
（1）求證：an+2﹣an是一個定值；
（2）若數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列（存在正整數(shù)T，使得對任意n∈N* ， 都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數(shù)列，T為它的一個周期，求該數(shù)列的最小周期；
（3）若數(shù)列{an}是各項均為有理數(shù)的等差數(shù)列，cn=23n﹣1（n∈N*），問：數(shù)列{cn}中的所有項是否都是數(shù)列{an}中的項？若是，請說明理由，若不是，請舉出反例．

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【題目】將函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）圖象上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移 個單位長度得到y(tǒng)=cosx的圖象，則函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（ ）
A.[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
B.[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
C.[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
D.[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

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【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．

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【題目】如圖，橢圓C1： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．
（Ⅰ）求C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A、B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 問：是否存在直線l，使得 = ？請說明理由．

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【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向，距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時的速度追截走私船，此時走私船正以海里小時的速度從處向北偏東方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.

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（Ⅱ）若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM||PN|的取值范圍．

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