【題目】已知橢圓的離心率e= ，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 定點(diǎn)，P（2， ），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M、F2N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e= = ，則a= c，
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上
∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（ ）2+（2﹣c）2 ， 解得：c=1，
則a= ，b2=a2﹣c2=1，
∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）證明：由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+m
由 消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
設(shè)M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
且 = ， =
由已知α+β=π，得 + =0，即 + =0，
化簡(jiǎn)，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，
∴2k× ﹣（m﹣k）（ ）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直線MN的方程為y=k（x﹣2），
∴直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率求得a= c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得 = ， = ，由 + =0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得m=﹣2k．則直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ， a∈R． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明不等式： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過橢圓 右焦點(diǎn)的直線 交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，P為M，N的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)另一直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數(shù)r∈N；
（1）求證：an+2﹣an是一個(gè)定值；
（2）若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列（存在正整數(shù)T，使得對(duì)任意n∈N* ， 都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數(shù)列，T為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期；
（3）若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列，cn=23n﹣1（n∈N*），問：數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說明理由，若不是，請(qǐng)舉出反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cosx的圖象，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A.[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
B.[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
C.[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
D.[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）在區(qū)間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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【題目】如圖，橢圓C1： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
（Ⅰ）求C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 問：是否存在直線l，使得 = ？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向，距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以海里小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C1的參數(shù)方程為 ，（α為參數(shù)，且α∈[0，π]），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=﹣2sinθ．
（Ⅰ）求C1的極坐標(biāo)方程與C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P是C1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交C2于點(diǎn)M，N，求|PM||PN|的取值范圍．

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