Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）-g（x）的定義域；
（2）求使函數(shù)f（x）-g（x）的值為正數(shù)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別把f（x）和g（x）的解析式代入到f（x）-g（x）中，根據(jù)負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)得到x+1和4-2x都大于0，列出關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數(shù)f（x）-g（x）的定義域；
（2）f（x）-g（x）的值正數(shù)即為f（x）-g（x）大于0，即f（x）大于g（x），將f（x）和g（x）的解析式代入后，分a大于0小于1和a大于1兩種情況由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可列出x的不等式，分別求出不等式的解集，即可得到相應(yīng)滿足題意的x的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知，f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（4-2x），
由

x+1＞0 4-2x＞0

，
解得

x＞-1 x＜2

，
∴-1＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）-g（x）的定義域是（-1，2）．
（2）由f（x）-g（x）＞0，得f（x）＞g（x），即log_a（x+1）＞log_a（4-2x），①
當(dāng)a＞1時(shí)，由①可得x+1＞4-2x，解得x＞1，又-1＜x＜2，
∴1＜x＜2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由①可得x+1＜4-2x，解得x＜1，又-1＜x＜2，
∴-1＜x＜1．
綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍是（1，2）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是一道綜合題．