Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過點(diǎn)(1，

3

2

)的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），過焦點(diǎn)F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準(zhǔn)線l于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

8

5

，

3 3

5

)，試求直線PA的方程；
（3）記M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_M，y_N，試問y_M•y_N是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，由于過點(diǎn)(1，

3

2

)的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），可得

1 a2 + 9 4b2 =1 c=1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

8

5

，

3 3

5

)，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，可得P(-

8

5

，-

3 3

5

)．利用斜率計(jì)算公式可得k_BF．即可得到直線BF的方程y=

3

(x-1)．與橢圓的方程聯(lián)立解得x_A．進(jìn)而得到直線PA的方程．
（3）橢圓C的右準(zhǔn)線l為：x=

a2

c

=4．當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，B（1，

3

2

），A(1，-

3

2

)，P(-1，-

3

2

)．即可得到直線PB的方程，直線PA的方程，即可得到y(tǒng)_M•y_N．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則P（-x₂，-y₂）．可得直線PB的方程為：y=

y2

x2

x，與x=4聯(lián)立，解得y_N=

4y2

x2

．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．直線PA的方程為：k_PA=

y1+y2

x1+x2

．由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．得到

3

4

+kPA•kAB=0，即kPA=-

3

4k

．得到直線PA的方程為：y+y2=-

3

4k

(x+x2)．聯(lián)立直線PA與l的方程

x=4 y+y2=- 3 4k (x+x2)

，解得y_M．進(jìn)而得到y(tǒng)_M•y_N．

解答：解：（1）如圖所示，∵過點(diǎn)(1，

3

2

)的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 c=1 a2=b2+c2

，解得c=1，b²=3，a²=4．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

8

5

，

3 3

5

)，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．∴P(-

8

5

，-

3 3

5

)．
可得k_BF=

3 3 5

8 5 -1

=

3

．
∴直線BF的方程y=

3

(x-1)．
聯(lián)立

y= 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化為5x²-8x=0，解得x=0或

8

5

．
把x=0代入直線方程可得y=-

3

．
∴A(0，-

3

)．
∴kPA=

-3 3 5 + 3

- 8 5 -0

=-

3

4

．
∴直線PA的方程為：y=-

3

4

x-

3

．
（3）橢圓C的右準(zhǔn)線l為：x=

a2

c

=4．
①當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，B（1，

3

2

），A(1，-

3

2

)，P(-1，-

3

2

)．
∴直線PB的方程為：y=

3

2

x，聯(lián)立

x=4 y= 3 2 x

，解得y_N=6．
直線PA的方程為：y=-

3

2

，∴yM=-

3

2

．
∴y_N•y_M=6×(-

3

2

)=-9．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則P（-x₂，-y₂）．
∴直線PB的方程為：y=

y2

x2

x，聯(lián)立

x=4 y= y2 x2 x

，解得y_N=

4y2

x2

．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．
直線PA的方程為：k_PA=

y1+y2

x1+x2

．
由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．
∴

3

4

+kPA•kAB=0，∴kPA=-

3

4k

．
得到直線PA的方程為：y+y2=-

3

4k

(x+x2)．
聯(lián)立直線PA與l的方程

x=4 y+y2=- 3 4k (x+x2)

，
解得y=-y2-

3(4+x2)

4k

=-

3(4+x2)(x2-1)

4y2

-y2=

-[4 y 2 2 +3 x 2 2 -12+9x2]

4y2

．
∵

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，∴4

y

2 2

+3

x

2 2

-12=0．
∴yM=-

9x2

4y2

．
∴y_M•y_N=-

9x2

4y2

•

4y2

x2

=-9．
綜上可知：y_M•y_N=-9，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、斜率計(jì)算公式直線的點(diǎn)斜式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．