Question

4．已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），∠B的內(nèi)角平分線BN所在直線方程為x+y-5=0，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0．求：
（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）直線BC方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出AB的中點(diǎn)M，表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)B、D分別在直線BN、CM上，列出方程組求出M、B的坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)A關(guān)于∠B平分線BN的對稱點(diǎn)A′，由A′在BC上，求出BA′的方程即可．

解答 解：（1）設(shè)AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則B（2x₀-5，2y₀-1），
∵點(diǎn)B、D分別在直線BN、CM上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{2x}_{0}-5）+（{2y}_{0}-1）-5=0}\\{{2x}_{0}{-y}_{0}-5=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{7}{2}}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{7}{2}$，2），B（2，3）；
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于∠B平分線BN的對稱點(diǎn)為A′（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{m-5}=1}\\{\frac{m+5}{2}+\frac{n+1}{2}-5=0}\end{array}\right.$，
解方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A′（4，0）；
又∵點(diǎn)A′在BC上，
∴即BA′方程為$\frac{x-4}{2-4}$=$\frac{y-0}{3-0}$，
整理得3x+2y-12=0，
即直線BC的方程為3x+2y-12=0．

點(diǎn)評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了點(diǎn)關(guān)于直線對稱的應(yīng)用問題，是綜合性題目．