如圖,在長方體,中,,點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明:;
（Ⅱ）當為的中點時,求點到面的距離;
（Ⅲ）等于何值時,二面角的大小為.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）建立空間坐標,分別求出的坐標,利用數(shù)量積等于零即可；（Ⅱ）當為的中點時,求點到平面的距離,只需找平面的一條過點的斜線段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）設,因為平面的一個法向量為,只需求出平面的法向量,然后利用二面角為,根據(jù)夾角公式,求出即可.
試題解析：以為坐標原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系,設,則,
（Ⅰ）,,故 ；
（Ⅱ）因為為的中點,則,從而, ,設平面的法向量為,則 也即,得,從而,所以點到平面的距離為 ；
（Ⅲ）設平面的法向量, 而, 由,即,得,依題意得: , ,解得 (不合,舍去),     ∴時,二面角的大小為.
考點：空間向量在立體幾何中應用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。

(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側面PAD內(nèi)找一點N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F-BE-D的余弦值；
(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四邊形為直角梯形，，，為等邊三角形，且平面平面，，為中點．

（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（3）在內(nèi)是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖在棱長為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點，且AM=BN=

（1）求||的最小值；
（2）當||達到最小值時，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
(I)求證：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大��；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA1=2，M是A1B1的中點.
（1）求cos（，）的值；
（2）求證：A1B⊥C1M.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

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