Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-4x+3與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x+y+m=0交于A，B兩點，且

OA

⊥

OB

，求m的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）求出曲線y=x²-4x+3與y軸的交點為（0，3），與x軸的交點為（1，0），（3，0），確定圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程得到方程組，消元得到2x²+2mx+m²+4m+3=0，由韋達定理得x₁x₂，y₁y₂再由x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求解．

解答： 解：（Ⅰ）曲線y=x²-4x+3與y軸的交點為（0，3），與x軸的交點為（1，0），（3，0），
故可設C的圓心為（2，t），則有（2-0）²+（t-3）²=（2-1）²+（t-0）²解得t=2，
則圓C的半徑為

(2-1)2+22

=

5

所以圓C的方程為（x-2）²+（y-2）²=5．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x+y+m=0 (x-2)2+(y-2)2=5

，
消去y，得到方程2x²+2mx+m²+4m+3=0，…（6分）
由已知可得，判別式△=4m²-4×2（m²+4m+3）＞0，化簡得m²+8m+6＜0，…（7分）
x₁+x₂=m，x1x2=

m2+4m+3

2

①…（8分）
由于

OA

⊥

OB

，可得x₁x₂+y₁y₂=0…（9分）
又y₁=-x₁-m，y₂=-x₂-m所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0②…（10分）
由①，②得m=-1或m=-3，滿足△＞0，
故m=-1或m=-3．…（12分）

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意韋達定理及整體思想的運用，屬中檔題．