Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：“如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題；
（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算求證即可，
（2）把（1）中題設(shè)和結(jié)論變換位置然后設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量運(yùn)算求證即可．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l的鈄率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，
此時(shí)，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A（3，

6

）、B（3，-

6

）．
∴

OA

•

OB

=3；
當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0?y₁y₂=-6
又∵x1=

1

2

y12，x2=

1

2

y22，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

4

(y1y2)2+y1y2=3，
綜上所述，命題“如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題；
（2）逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn)，
如果

OA

•

OB

=3，那么該直線過(guò)點(diǎn)T（3，0）．該命題是假命題．
例如：取拋物線上的點(diǎn)A（2，2），B（

1

2

，1），
此時(shí)

OA

•

OB

=3，
直線AB的方程為：y=

2

3

(x+1)，而T（3，0）不在直線AB上；
說(shuō)明：由拋物線y²=2x上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足

OA

•

OB

=3，可得y₁y₂=-6，
或y₁y₂=2，如果y₁y₂=-6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)（3，0）；如果y₁y₂=2，可證得直線
AB過(guò)點(diǎn)（-1，0），而不過(guò)點(diǎn)（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了真假命題的證明，但要知道向量點(diǎn)乘運(yùn)算的知識(shí)．