Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點且與直線垂直，直線與軸交于點，點與點關(guān)于軸對稱，動點滿足.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線與軌跡相交于兩點，設(shè)點，直線的斜率分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）由已知設(shè)直線的方程為，

因為點在直線上，所以，解得.

所以直線的方程為.

令，解得，所以，故.

因為，

由橢圓的定義可得，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，長軸長為4.

所以，，

所以軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，由，解得.

不妨設(shè)，，則.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

由，消去，得，

依題意，直線與軌跡必相交于兩點，設(shè)，，

則，，

又，，

所以

.

綜上可得，為定值.