Question

【題目】已知函數(shù)，（是的導(dǎo)函數(shù)），在上的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）在上共有兩個(gè)極值點(diǎn)，詳見解析

【解析】

（1）先求得，再求得，再討論的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值即可得解；

（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合，，由零點(diǎn)定理可在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)；再當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可使，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再結(jié)合特殊變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)可得在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，綜合即可得解.

解：（1）由

則，

則，

①當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去.

②當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，∴，不合題意，舍去.

③當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，∴，解得，

∴綜上：.

（2）由（Ⅰ）知，，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，

∴在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.

又，，

∴使且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又，，，∴在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

∴在和上各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，∴在上共有兩個(gè)極值點(diǎn).