Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0）令f(k)=

a

•

b

（1）求f(k)=

a

•

b

（用k表示）；
（2）當k＞0時，f(k)≥x2-2tx-

1

2

對任意的t∈[-1，1]恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用|

a

|=|

b

|=1，結合|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|兩邊平方整理即可得到結論；
（2）當 k＞0時，先根據基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求問題轉化為g（t）=-2xt+x²-1＜0對任意的t∈[-1，1]恒成立，最后結合一次函數的知識即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：（1）由|

a

|=|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|k2

a

2+b2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)
整理得

a

•

b

=

k2+1

4k

∴f（k）=

k2+1

4k

（k＞0）…（4分）
（2）當 k＞0時f（k）=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

（當且當k=1時等號成立）…（6分）
∴當 k＞0時f（k）≥x2-2tx-

1

2

對任意的t∈[-1，1]恒成立
即

1

2

≥x2-2tx-

1

2

亦即x²-2tx-1≤1對任意的t∈[-1，1]恒成立…（8分）
而x²-2tx-1=-2xt+x²-1=g（t）
∴g（t）=-2xt+x²-1＜0對任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函數的性質可得

g(-1)=2x+x2-1≤0→-1- 2 ≤x≤-1+ 2 g(1)=-2x+x2-1≤0→1- 2 ≤x≤1+ 2

…（10分）
∴1-

2

≤x≤

2

-1
∴實數的取值范圍為[1-

2

，

2

-1]

點評：本題主要考查平面向量的基本運算性質，數量積的運算性質，等價轉化思想，以及恒成立問題和基本不等式的運用．是對知識的綜合考查，屬于中檔題目．