Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{3}{4}$，+∞），且f（x+1）=f（-x），求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設b=a+1，當0≤a≤1時，對任意x∈[0，2]都有m≥|f（x）|恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的性質知定點縱坐標為$\frac{3}{4}$，再有條件f（x+1）=f（-x），得出a，b的值；
（2）對a進行分類討論：當a=0時，f（x）=-x+1，m≥1；再對對稱軸進行討論，當$\frac{a+1}{2a}$＜2時，即a＞$\frac{1}{3}$；當$\frac{a+1}{2a}$≥2時，即a≤$\frac{1}{3}$，分別去求|f（x）|的最大值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{3}{4}$，+∞），
∴4a-b²=3a，
∵f（x+1）=f（-x），
∴（2a-b）x+a-b=bx，
∴a=b=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）當b=a+1，
f（x）=ax²-（a+1）x+1，f（x）恒過點（0，1）；
當a=0時，f（x）=-x+1，
m≥|f（x）|恒成立，
∴m≥1；
0＜a≤1，開口向上，對稱軸$\frac{a+1}{2a}$≥1，
f（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-$\frac{a+1}{2a}$）²+1-$\frac{（a+1）^{2}}{4a}$，
①當a=1時f（x）=x²-2x+1，|f（x）|在x∈[0，2]的值域為[0，1]；
要m≥|f（x）|，則m≥1；
②當0＜a＜1時，
根據(jù)對稱軸分類：
當x=$\frac{a+1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{3}＜a＜1$，
△=（a-1）²＞0，
f（$\frac{a+1}{2a}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$（$a+\frac{1}{a}$）∈（-$\frac{1}{3}$，0），又f（2）=2a-1＜1，所以|f（x）|≤1；
當x=$\frac{a+1}{2a}$≥2，即0$＜a≤\frac{1}{3}$；
f（x）在x∈[0，2]的最小值為f（2）=2a-1；
-1$＜2a-1≤-\frac{1}{3}$，所以|f（x）|≤1，
綜上所述，要對任意x∈[0，2]都有m≥|f（x）|恒成立，有m≥1
∴m≥1．

點評 考查了二次函數(shù)的性質和對二次函數(shù)對稱軸的分類討論求閉區(qū)間的最值問題．