Question

【題目】函數(shù)

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)已知對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)-1

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)，先征得當(dāng)時(shí)是成立的，再對(duì)時(shí)，總存在，作出證明，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的最大值。

（1）

①當(dāng)時(shí)，

，，

單調(diào)遞增，在上無(wú)極值點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞減，，

存在使得，則為的極大值點(diǎn)；

在上單調(diào)遞增，，

存在使得，則為的極小值點(diǎn)；

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞增，，

存在使得，則為的極小值點(diǎn)；

在上單調(diào)遞減，，

存在使得，則為的極大值點(diǎn)；

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)。

（2）設(shè)（）

①先證明時(shí)成立，證明過(guò)程如下：

，

，

，

，，

在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞增，

即對(duì)任意的，恒成立

②下證對(duì)，總存在， ，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，，

（i）當(dāng)時(shí)，

（ii）當(dāng)時(shí)，，

綜（i）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增

，

使得

時(shí)

在上單調(diào)遞減

時(shí)

即存在，綜上所述，的最大值為