【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點重合，記為點P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

推導出四邊形CDEF是平行四邊形，，，由，得，從而面PEF，由此能證明平面平面PEF．

在平面PEF內作，垂足為O，取CD的中點M，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PD與平面PFC所成角的正弦值．

，，四邊形CDEF是平行四邊形，，

≌，，，

，，，，

，面PEF，

面PFC，平面平面PEF．

在平面PEF內作，垂足為O，取CD的中點M，

由知平面PEF，故FC，平面CDEF，，，

，，，，，OF，OM兩兩垂直，

以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，是等邊三角形，

0，，0，，2，，2，，

0，，2，，2，，

設y，是平面PFC的法向量，

則，取，得0，，

設PD與平面PFC所成角為，

則，

與平面PFC所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

（i）證明：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖在棱錐中，為矩形，面，

（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；

（2）當為中點時，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】當x∈[0，1]時，下列關于函數(shù)y=的圖象與的圖象交點個數(shù)說法正確的是（　�。�

A. 當時，有兩個交點B. 當時，沒有交點

C. 當時，有且只有一個交點D. 當時，有兩個交點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有下列四個命題:

（1）“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;

（2）“面積相等的三角形全等”的否命題;

（3）“若,則無實數(shù)解”的否命題;

（4）命題:“空間中到一個正四面體的六條棱所在的直線距離均相等的點有且只有個”; 其中真命題（ ）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（2）（3）D.（1）（2）（4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ∥，且 , ， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若且，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，，.

（1）求證：；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質量指標會影響第二段生產(chǎn)成品的等級，具體見下表：

第一段生產(chǎn)的半成品質量指標

或

或

第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率

0.2

0.4

0.6

第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率

0.3

0.3

0.3

第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率

0.5

0.3

0.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質量指標，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質量指標的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質量指標服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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